Re: 2 problemas..

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Esse problema caiu em alguma Rioplatense mas n�o
lembro quando... sei que foi recente. De fato, a, b e
c devem ser inteiros.

Bom, temos a^2 + b^2 + 1 = c^2. Como o Ralph j�
demonstrou, a e b s�o pares e c � �mpar. Assim, na
verdade queremos demonstrar que a/2 + (c-1)/2 =
(a+c-1)/2 � par, ou seja, que a + c = 1 (m�d 4). Da
equa��o dada temos (c - a)(c + a) = b^2 + 1.

Provaremos que b^2 + 1 n�o pode ter divisores p tais
que p = 3 (m�d 4). Suponha o contr�rio. Temos b^2 = -1
(m�d p) logo b^(p-1) = (-1)^((p-1)/2) (m�d p).
Claramente p n�o divide b, logo, do teorema de
Euler-Fermat, temos (-1)^((p-1)/2) = 1 (m�d p). Mas se
p = 4k + 3, (p-1)/2 = 2k + 1, e logo -1 = 1 (m�d p),
absurdo.

Assim, sendo �mpar, b^2 + 1 � o produto de primos
congruentes a 1 m�d 4 e c + a � o produto de alguns
deste primos, sendo portanto congruente tamb�m a 1 m�d
4.

[]'s
Shine

--- Ralph Teixeira <ralph@fgv.br> wrote:
>     Hmmm...
> 
>     O primeiro nao pode ser verdade.... Afinal, a=0,
c=2 e b="o que quer que precise" satisfaz a primeira
parte mas nao a segunda. Serah que a,b e c nao eram
naturais?
> 
>     Se forem naturais... bom, ainda nao consegui
fazer para |a/2|+|c/2| nem achar um contra-exemplo. Se
fosse |a/2|+|b/2|, eu saberia fazer: analise tudo a
modulo 8. Os restos de n^2 sao sempre 0, 1 ou 4 modulo
8 (se n eh natural). Assim, para que a^2+b^2+1=c^2,
devemos ter 
>     - a^2=b^2=0 (modulo 8) e c^2=1 (modulo 8)
>     OU
>     - a^2=b^2=4 e c^2=1 (tudo modulo 8).
> 
>     No primeiro caso, a e b sao divisiveis por 4 e
entao a/2 e b/2 sao pares. No segundo, a e b deixam
resto 2 na divisao por 4, e entao a/2 e b/2 sao
impares e acabou.
> 
>     Depois eu vou pensar no |a/2|+|c/2|....
> 
>     Abraco,
>             Ralph
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Carlos Stein Naves de Brito"
> <carlosstein@uol.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, October 17, 2001 7:39 PM
> Subject: 2 problemas..
> 
> 
> Gostaria de ver solu��es para esses probleminhas 
> que est�o me entalando.
> Valeu.
> 1-Sejam a, b e c reais tais que a^2 + b^2 +1 = c^2.
> Prove que |a/2| + |c/2|
> � par. |x| � a parte inteira de x.
> 2-Seja g(x)=ax^2 + bx + c uma fun��o quadr�tica com
> coeficientes reais(a n�o
> nulo) tal que a equa��o g(g(x)) = x tem quatro
> ra�zes reais distintas.
> Demontre que n�o existe nenhuma fun��o f:R->R tal
> que f(f(x)) = g(x) para
> todo x real.
> 
> 


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