Re: Constru��o axiom�tica dos n�meros

["Rogerio Fajardo" <rogeriofajardo@xxxxxxxxxxx>]

Vi como se constroem (em termos de conjuntos) os reais a partir dos 
racionais, os racionais a partir dos inteiros, e os naturais a partir do 
conjunto vazio. E os inteiros? como eu os construo dos naturais? (Qual � a 
melhor forma de "colocar sinal" usando conjuntos?).

Outra coisa: usando essas constru��es, n�o estaria errado eu falar que os 
naturais est�o contidos nos inteiros, que est�o contidos nos racionais, 
etc...? Afinal, o n�mero real 1 � diferente do n�mero racional 1.

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Constru��o axiom�tica dos n�meros
>Date: Mon, 13 Aug 2001 09:40:46 -0300
>
>On Sun, Aug 12, 2001 at 05:09:56PM -0300, David Daniel Turchick wrote:
> > Ser� que algu�m da lista poderia me sugerir um livro em que eu encontre 
>uma
> > constru��o axiom�tica dos n�meros (em especial, dos conjuntos IN e IR)?
>
>A frase 'constru��o axiom�tica' � um pouco estranha, se voc� constr�i
>o conjunto dos n�meros naturais dentro da teoria dos conjuntos ent�o
>voc� n�o precisa de axiomas novos, um n�mero natural passa a ser um tipo
>especial de conjunto e os 'axiomas' de Peano passam a ser teoremas.
>
>A constru��o dos n�meros naturais dentro da teoria dos conjuntos est�
>em explicada em 'Na�ve Set Theory', de Paul Halmos, UTM
>(sei que existe tradu��o mas o que eu tenho � o original em ingl�s).
>O 'handbook of mathematical logic' discute (entre v�rias outras coisas)
>os axiomas de Peano em l�gica de primeira ordem. Aqui estamos indo para
>o lado dos teoremas de incompletude de G�del, por exemplo, acho que n�o
>era esta a inten��o da sua pergunta.
>
>Se por outro lado voc� est� procurando uma descri��o das propriedades
>fundamentais (axiomas?) dos n�meros naturais e reais voltada para 
>estudantes
>de gradua��o e mestrado ou para matem�ticos de outras �reas que n�o l�gica 
>ou
>teoria dos conjuntos ent�o voc� talvez os primeiros cap�tulos do livro
>de an�lise do Elon (curso de an�lise, vol 1, projeto Euclides)
>estejam mais pr�ximos do que voc� procura.
>
>Finalmente, se voc� quer ver alguma matem�tica com menos de 50 anos
>o livro 'On Numbers and Games' de John Conway come�a com a constru��o
>de uma classe de n�meros muito ampla, os n�meros surreais,
>que inclui como subclasses n�o apenas os naturais e reais mas tamb�m
>os ordinais e cardinais infinitos.
>
>[]s, N.


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