Re: Re: Vamos contar?

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Rodrigo, essa demonstraccao nao esta certa. O fato de A nao pertencer a
Im(U), nao implica que a funccao U nao e' sobrejetiva, por que o conjunto X
pode nem possuir um numero real! Voce adaptou a sua demonstraccao anterior,
mas esqueceu que agora voce esta lidando com o conjunto X, e nao com os
reais. Eu acho que voce quis dizer o seguinte:

Suponha que existe uma bijeccao U: X->P(X). Construimos o conjunto A = {x
pertence X| x nao pertence a U(x)}.

Como a funccao U e' uma bijeccao, existe um x pertencente a X, tal que U(x)
= A. Agora usamos a definiccao de A:
- se x pertence a A, entao x nao pertence a U(x) = A, logo nao pertence a A,
absurdo!
- se x nao pertence a A, entao x pertence a U(x) = A, logo pertence a A,
novo absurdo!

Ou seja, a suposiccao inicial de que existe uma bijeccao é falsa, e daí
#P(X) > #X.

Mas a sua idéia é simples e elegante! Eu nunca havia visto essa
demonstraccao. Veja como eu demonstrei que existem infinitos "tipos" de
infinitos.

Seja F(X) = { f: X->X }, ou seja, F(X) é o conjunto de TODAS as funções de X
em X. Vou mostrar que #F(X) > #X.

É trivial que #F(X) >= X. Temos que mostrar que nao vale a igualdade. Vou
mostrar que nao existe uma função sobrejetora U: X->F(X) (uma função que
assuma todos os valores de F(X)).

Suponha que existe essa sobrejeção U: X->P(X). Sejam a e b dois elementos
distintos de X. Para cada x pertencente a X, U(x) é uma função f_x : X->X.
Consideremos a função u: X->X, definida por:
- u(x) = a, se f_x(x) = b
- u(x) = b, se f_x(x) é diferente de b
A propriedade da função u é que ela assume um valor diferente de f_x, no
ponto x. Logo a função u é diferente de todas as funções f_x, para qualquer
x pertencente a X. Segue que U não é uma sobrejeção, um absurdo que
demonstra que #F(X) > #X.

Eduardo Casagrande Stabel.



From: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
> É verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) > #(X). Vejamos :
>  É trivial que #(P(X)) >= #(X) ( inclusão natural ). Basta mostrar que não

> vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista um
> bijeção U : X->P(X). Daí, considere o conjunto A = { y real ; y não
pertence
> a U(y) } ( obviamente A não é vazio ). Afirmação : A não pertence a Im(U).
> Suponha o contrário. Daí, existe t real, tal que U(t) = A.
>  Se t pertence a A, pela definição de A, t não pertence a U(t) = A,
> contradição.
>  Se t não pertence a A, t não pertence a U(t), logo, pela definição de A,
t
> pertence a A, contradição. Daí, conclui-se que este t não existe. Logo, A
> não pertence a Im(U). Com isso, temos que a função U não é sobrejetiva,
> logo, não há bijeção de X em P(X), daí #(P(X)) > #(X).
>  Abraços,
>       ¡Villard!
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
> Assunto: Re: Vamos contar?
>
>
> >On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
> >> Olá...
> >>
> >> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
> >> "coisa" é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
> >> coisas(!) não muito bem definidas.  É o seguinte: para contar, por
> >> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número
natural
> >> a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
> >> (Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais
existem?
> >> Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos
inteiros?
> >> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
> >> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? Aí não é o mesmo: tem
> >> mais...
> >
> >Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
> >inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
> >existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
> >se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
> >se existir uma função sobrejetora de Y para X.
> >>
> >> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
> >> "aleph" com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
> >> disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de
infinitos!
> >> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma
propriedade
> >> do espaço funcional.
> >
> >Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
> >Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
> >o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
> >é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
> >da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
> >deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
> demonstração
> >usa a hipótese do contínuo, esta hipótese deve ser claramente enunciada
> >e surge naturalmente a questão se existe uma demonstração que não use
> >a hipótese do contínuo.
> >
> >Algumas notações usualmente aceitas para o cardinal dos reais são
> >2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth é a segunda letra do alfabeto hebraico).
> >>
> >> Pergunta: Quantos complexos há? Tantos quanto os reais? Mais?
> >
> >Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
> >Uma idéia ingênua é escrever parte real e parte imaginária
> >como expansões decimais infinitas e intercalar os dígitos
> >para obter um único número real que 'encodifica' os dois primeiros.
> >O problema é que como 1.00000000... = 0.99999999...
> >(conforme já foi bastante discutido nesta lista ;-))
> >às vezes um número real admite duas expansões decimais.
> >O problema é contornável de várias formas.
> >
> >> Como demostrar
> >> que existem infinitos "tipos" de infinito?
> >
> >Você pode mostrar que nunca existe uma bijeção entre um conjunto X e
> >P(X) = {Y | Y é subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) é sempre
> >maior do que o de X.
> >
> >> (Talvez fosse interessante alguém
> >> reproduzir a demonstração do que eu disse acima, porque eu não saberia
> >> explicá-la bem. Se não me engano, o matemático que estudou isto foi
> >> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
> >>
> >> Não sei se essas idéias podem sair da matemática pura (podem???),
> >
> >De onde mais?
> >
> >> mas todos temos, no mínimo, curiosidade quando falamos do infinito.
> >
> >Claro.
> >
> >[]s, N.
> >
>
>