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Estou
enviando solu��es para a primeira e a terceira. Desculpem-me por quaisquer
eventuais erros.
Ah,
Eder, essas quest�es que voc� tem mandado s�o quest�es muito boas... De onde
voc� as tira??
flw,
Einstein
Terceira quest�o: Determine as fun��es f : R - {0,1}
==> R tais que f(x) + f(1/(1-x)) =x para todo x do
dom�nio de f.
Solu��o:
Uma
quest�o que usa uma id�ia parecida com essa se encontra na olimp�ada
Iberoamericana de 87, se eu n�o me engano.
Primeiramente substitua x por t,
teremos:
f(t) +
f(1/(1-t))
=t para
t diferente de 1
Agora
tome x como sendo 1/(1-t), teremos:
f(1/(1-t))+ f((t-1)/t)
=1/(1-t) para
t diferente de 0 e 1
E por �ltimo tome
x igual a (t-1)/t, teremos:
f((t-1)/t) +
f(t)
=
(t-1)/t para
t diferente de 0
somando as tr�s
teremos:
f(t) + f(1/(1-t))
+
f(1/(1-t))+
f((t-1)/t) + f((t-1)/t) + f(t) =
(t-1)/t + 1/(1-t) +
t Da�:
2*(
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t) ) = (t-1)/t + 1/(1-t) + t
E:
f(t) + f(1/(1-t))
+ f((t-1)/t) = (
(t-1)/t + 1/(1-t) + t )/2
substituindo na segunda teremos:
f(t)=
( (t-1)/t + t - 1/(1-t) )/2
Para
todo t real diferente de 0 e 1.
Primeira quest�o: Num c�rculo de di�metro AB uma
corda CD � perpendicular a AB e M � um ponto do c�rculo.MD e MC interceptam AB
em E e F.Provar que E e F s�o conjugados harm�nicos em rela��o a
AB.
Conjugados harm�nicos em rela��o a AB s�o pontos P
e Q tais que: k=PA/PB=QA/QB.
Sabendo disso, tente provar a primeira
quest�o
Se
quizer ver a solu��o continue a ler...
SOLU��O:
Bom...
Como A � o ponto m�dio do arco CD que n�o cont�m B, implica que a bissetriz do
�ngulo CMD � AM. Chame CMA=AMD=x. Da� como AB � di�metro implica que AMB=90
graus, ou seja,BMD=90-x
Da�
como CMF � uma reta: FMB=BMD=90-x, o que implica que BM � bissetriz
do angulo FMD.
Olhando para o tri�ngulo MEF, BM � sua bissetriz
interna e AM sua bissetriz externa. Pelos teoremas das bissetrizes interna e
externa teremos que:
AF/AE=MF/ME=BF/BE
E da�
segue o resultado.
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