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Re: Sobre o Problema 3N+1 (Complemento)
Oi Rui,
Estou complementando minha mendagem anterior :
O seu interesse pela questao despertou novamente o meu interesse por ela. Se
voce estiver realmente interessado em aborda-la comigo, posso te remeter uma
exposicao detalhada dos resultados a que chequei e que mariei na mensagem
anterior. Voce da uma olhada e me envia suas impressoes.
Conforme ja disse, a minha ideia foi MAPEAR os numeros que, com certeza,
atendem a Conjectura de Siracura, associando a cada um uma sequencia
conveniente e determinando, atraves desta sequencia, o expoente "p" de
S^p(N)= 1.
So a titulo de exemplificacao :
a N=(4^s - 1)/3 esta associada a sequecia "s". Qual o expoente "p" tal que
S^p(N)=1 ? Claramente : 2s + 1. Pois vamos aplicar S na forma 3N+1 a N (Pois
N e impar ). Isso ira gerar: 2^(2s). Aplicando S na forma N/2, "2s" vezes
chegaremos a S^p(N)=1 com p=2s+1
Nos numeros da forma (2^q)*((4^s - 1)/3) o expoente p e: q+2s+1 e a este
numero estara associado a sequencia (s,q).
Como voce ve, o que fiz foi estudar a arvore que voce percebeu, acompanhando
seu comportamento. Isso nos leva a associar a cada numero que atende a
conjectura de siracura uma sequencia finita N=(x1,x2, ...,xn) e, com esta
sequencia, podemos nao so descobrir o numero que esta associado a ela como o
expoente que devemos associar a p para que S^p(N). Este numero chamei de
p(N).
A extensao da sequencia permite definir uma "distancia" entre o numero que
ela representa e o famigerado SORVEDOURO ou BLACK HOLE.
Este mapeamento nos livra de trabalhar com os imensos numeros que estao
associados a este problema e saber tudo que precisamos : qual o numero e
qual o expoente.
Se algum numero N e tal que nao existe p tal que S^p(N)=1 entao a aplicacao
de S em N ira gerar uma sequencia infinita ... !!!!!!!!! É possivel isso ?
Me parece ser fundamental estudar as propriedades graficas (topologicas) da
figura ( voce chama de arvore ) par provarmos algo neste sentido ... A ideia
e associar a cada familia bem caracterizada de numeros uma linha. Assim :
A familia (4^s - 1)/3, que e a beira do sorvedouro, é uma linha na qual para
cada s associamos um ponto. As familias (2^q)*((4^s -1)/3) sao linhas
orientadas que vem do infinito e terminam ( ponta da seta ) em (4^s - 1)/3.
E assim sucessivamente.
Se despirmos esta figura de inconsistencias e ela for um modelo real para o
problema, as propriedades desta figura ( cruzamento de linhas, etc ) pode
fornecer o que falta par completar a prova. O QUE EU ACHO QUE ME FALTA E
FAZER UMA REPRSENTACAO GRAFICA LEGAL DESTA FIGURA, PARA ESTUDA-LA EM
SEPARADO.
aqui esta uma sintese da ideia em que mais investi. Mas percebi uma outra
linha de ataque :
1) definir com precisao ( baseado na funcao S ) o conceito de SORVEDOURO.
2) Mostrar que nao pode haver mais de um SORVEDOURO.
Mas eu acredito muito na primeira ideia e nao tirei as implicacoes imediatas
( Nao defini ) desta segunda ideia. Não investi nela.
E muito provavel que voce saiba coisas que eu nao sei e, reciprocamente, eu
saiba coisas que voce nao sabe. A uniao deste saberes ( ou ignorancias ?)
pode nos levar a solucao. O que voce acha ?
Eu penso, numa primeira aproximacao ( pois nunca fiz isso antes !), que para
duas pessoas investigarem juntas deve haver alguns principios :
1)Cada um deve levar a serio o trabalho do outro
2)Um nao pode querer parecer melhor que o outro
3)Ninguem pode se melindrar por ser corrigido
4)Ninguem pode se melindrar em corrigir.
5)Cordialidade e camaradagem nao fazem mal a niguem
O que voce acha ? Acrescenta alguma coisa ?
e entao, vmaos trabalhar ?
Um grande abraco pra voce !
Do seu colega e, quica, futuro amigo
Paulo Santa Rita
4,1042,09052001
>From: "Rui Viana" <ruilovlist@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300
>
>Oi Paulo,
>
>Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina
>na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma
>formulacao
>bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum
>eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele.
>Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel
>solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma
>pensada
>nele.
>
>A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum
>as
>demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore
>que comeca no 1 e vai descendo assim :
> 1
> 2
> 4
> 8
> 16
> 32 5
> 64 10
> .....
>
>Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero..... sei lah...
>
>
>Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando
>material relativo ao problema, ideias, solucoes......
>
>[]'s
>Rui Viana
>
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Sobre o Problema 3N+1
>>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47
>>
>>Ola Pessoal !
>>
>>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo
>>Prof
>>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura",
>>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue :
>>
>>Seja F:N -> N uma funcao, tal que
>>F(n) = 3n+1, se "n" e impar
>>F(n) = n/2, se "n" e par.
>>
>>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)...)))), isto e, F^p(n) e a
>>composicao
>>de F com ela mesma "p" vezes, entao :
>>
>>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=1.
>>
>>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de
>>Escol
>>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que
>>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ...
>>
>>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos
>>apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar
>>alguns
>>aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao !
>>
>>O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou
>>SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1 e
>>o
>>resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2
>>ira
>>nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia
>>2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma
>>que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira :
>>
>>CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>>
>>Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ?
>>
>>PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3.
>>
>>Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar
>>e,
>>portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e 3n+1=2^r
>>entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara :
>>n=(2.2^2q
>>- 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim,
>>nao
>>pode ser r=2q+1.
>>
>>Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3
>>sao
>>tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao
>>n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE CERTA
>>FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>>
>>Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3
>>entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente
>>assumir
>>a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo sucede
>>como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero
>>natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>>
>>Bom. Ate aqui, o que conseguimos ? Podemos, sem duvida, reformular a
>>conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma :
>>
>>CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da forma
>>(4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>>
>>OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que
>>F^p(n)=1, para algum p.
>>
>>A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas
>>simplificacoes.
>>Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem
>>desemboca em (4^s - 1)/3.
>>
>>Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se
>>transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todos os numeros pares da
>>forma :
>>
>>PAR = (2^q)*( (4^s - 1)/3 )
>>
>>Assim, fixado "s", existe uma infinidade de naturais ( todos eles ) "q"
>>que
>>formam uma sequencia Aq=(2^q)*( (4^s - 1)/3 ) para a qual
>>F(Aq) "cai" ou "converge" para (4^s - 1)/3. A imaginacao nos leva a pensar
>>na sequencia Aq como uma "linha orientada" apontando para
>>(4^s - 1)/3, na qual marcamos os Aq indo para o infinito.
>>
>>Claramente que para todo "s" de (4^s - 1)/3 ha uma linha desse tido.
>>
>>Poderiamos agora esclarecer alguns aspectos sobre estas linhas, como, por
>>exemplo, se elas se cruzam ou nao, isto e, se existem q1#q2 e s1#s2 tais
>>que
>>:
>>
>>(2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ) = (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ).
>>
>>Mas por brevidade vamos deixar isso de lado, por enquanto. O que e
>>importante e que, fixado "s", existe uma infinidade de "q" ( todos os
>>naturais ) tais que (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) se transforma em (4^s - 1)/3.
>>
>>Podemos transformar esta ideia num par : (s,q). Assim, a todo par (s,q)
>>associamos o numero (2^q)*( (4^s - 1)/3 ). Isto significa que alguns
>>numeros
>>terao uma sequencia (s,q) associada, garantindo assim que ele atende ou
>>satisfaz a CONJECTURA DE SIRACUSA.
>>
>>O MAPA
>>
>>Eu acho que aqui consegui explicar a essencia da minha ideia para atacar o
>>problema 3N+1. Algumas coisas acessorias sao importantes e precisam ser
>>provadas ( O problema do cruzamento das linhas acima e simples, porem
>>muito
>>importante ... ). A ideia e mapear os numeros que satisfazem a conjectura,
>>associando a cada um deles uma sequencia finita de numeros naturais. A
>>extensao das sequencias caracteriza, de certa forma, o quanto o numero
>>esta
>>"distante" do SORVEDOURO. Essa distancia pode ser medida com o numero de
>>iteracoes da forma 3N+1.
>>
>>A ideia e mostrar que nenhum numero natural escapa a este mapeamento.
>>
>>E entao :
>>
>>1) Alguem preenche as lacunas e conclui a demonstracao ?
>>2) Alguem apresentar uma ideia melhor ?
>>3) Alguem quer criticar ?
>>
>>OBS : Eu nao vou ficar chateado se alguem quiser criticar e dizer que e
>>uma
>>ideia de Mongo, Jaba ou coisa parecida.
>>
>>Um abraco
>>Paulo Santa Rita
>>2,1110,07052001
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