Re: Algo muito(issimo) mais dificil sobre a funcao maior inteiro

["Marcos Eike" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Como interpreto ao dizer pontos complexos? Aceito como vetores? como?

Ats,
Marcos Eike


-----Mensagem Original-----
De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sexta-feira, 17 de Novembro de 2000 17:35
Assunto: RES: Algo muito(issimo) mais dificil sobre a funcao maior inteiro


> para o primeiro, o ideal é vc antes mostrar que
>
> [(2+sqr3)^n]=(2+sqr3)^n + (2-sqr3)^n - 1
> nao eh muito dificil de mostrar isso. a ideia de tentar isso pode ser um
> pouco dificil a principio, mas varias "partes inteiras" desse tipo podem
ser
> calculadas exatamente dessa maneia. e uma vez feita a conjectura certa
nesse
> caso, costuma ser facil prova-la.
> (i)  olhando para o desenvolvimento dos binomios de newton do lado
direito,
> concluimos que a parte direita é um numero inteiro.
> (ii) agora se o lado direito eh K, basta vc mostrar que K<(2+sqr3)^n<K+1,
o
> que tmb da pra fazer ja que 2-sqr3 < 1 e portanto (2-sq3)^n - 1 < 0 .
> isso prova o lado esquerdo. o lado direito eh mais facil, pq (2-sq3)^n eh
> sempre maior que zero.
> dai vc pela propria expansao binomial conclue sobre a paridade dele.
>
> outra maneira de ver um pouco mais do que isso, segue adiante: pode
parecer
> inutil nesse problema, mas ajuda muito em outros.
> eh vc ver que os numeros 2+sq3 e 2-sq3 sao raizes de x^2-4x+1 e portanto
> pode-se mostrar que (2+sqr3)^n - (2-sqr3)^n eh solucao da recorrencia
> x_n+2 - 4x_n+1 + x_n = 0, com x_0=-1 e x_1=3.
> Entao, teremos x_2=4x_1-x_0=12+1=13
> e se x_n for impar, teremos x_n+2=4x_n+1 - x_n que é impar sempre que x_n
eh
> impar.
>
>
> Continuando o costume, fica esse problema da revista eureka, do artigo de
> numeros complexos, e cuja solucao eh bem parecida com essa ultima de cima:
> (a)Prove que para qualquer natural n, (2+i)^n eh diferente de (2-i)^n
> (b)Conclua que o triangulo pitagorico (3,4,5) nao tem angulos racionais
> (expressos em graus) alem do de 90 graus.
> (c) generalize.
>
> Um caso de aplicacao legal de um problema parecido com o original que
> resultou nessa mensagem aparece na solucao da quarta questao da OBM desse
> ano, que ja foi posta aqui na lista. (provar que para 'quase' todo numero
> real a, [na] alguma hora eh maior que 0,6).
>
> abracos,
> Marcio
>