Re: Uma ajuda, por Favor !

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Colegas da Lista,

Revendo a minha mensagem abaixo percebi que a questao do
Alexandre nao aparece. O enunciado e :

ENUNCIADO : Mostre que para quaisquer quatro inteiros
positivos "a", "b", "c" e "d" o produto

P=(b-a)*(c-a)*(c-b)*(d-a)*(d-b)*(d-c)

E divisivel por 12.

Se nao me falha a memoria esta questao ( ou outra muito
parecida ) ja foi publicada e resolvida na lista.
Intuitivamente acho que a primeira linha de raciocinio
abaixo e "mais forte" por lidar com conceitos mais basicos e
primitivos. Sem me deter em uma analise mais exaustiva,
acredito que e possivel descobrir o segredo do 12, desta
forma :

Sejam X1,X2,X3,...,Xn inteiros positivos. Definimos :

P(X1,X2,X3,...,Xn)= Produtorio(Xi - Xj) para i > J

Qual o maior numero natural (em funcao de N ) que divide P,
independente da escolha dos Xi ?

Ao caracterizar este maior numero natural descobriremos 12
quando N for 4 ?

Um abraco saudoso a todos !
Paulo Santa Rita
3,1714,07112000







 
On Mon, 06 Nov 2000 14:08:22 -0500
"Paulo Santa Rita" <psr@zipmail.com> wrote:
>Ola Alexandre,
>
>Obrigado pelas suas palavras elogiosas !
>
>Eu vejo varias maneiras de resolver este problema. Acho
>mesmo que ele ja apareceu na lista ... Ao inves de
>resolver
>vou indicar duas linhas de raciocinio pra voce seguir e
>ter
>a alegria de encontrar a solucao.
>
>Sejam a,b,c,d inteiros positivos quaisquer e
>P=(b-a)*(c-b)*(c-a)*(d-c)*(d-b)*(d-a)
>
>Como a diferenca entre dois numeros quaisquer e um fator
>de
>P entao, claramente, se quaisquer dois numeros forem
>iguais
>o produto sera zero e, portanto, divisivel por 12. O que
>interessa, consequentemente, e considerar o caso no qual
>dois numeros quaisquer sao distintos ...
>
>Sem perda de generalidade podemos por : a < b < c < d.
>
>1 LINHA DE RACIOCINIO :
>
>A) Mostre que o Produto P e divisivel por 4 porque ele
>tem,
>ao menos, dois fatores pares. Voce pode fazer isso
>considerando que as possiveis paridades dos numeros e
>notando que :
>
>PAR - PAR = PAR
>IMPAR - IMPAR = PAR
>
>uma outra forma seria por reducao ao absurdo. Notando que
>:
>
>c - a = (c-b) + (b-a)
>
>supor que todos os fatores ( diferencas ) sao impares
>levara
>a uma contradicao e lhe permitira provar que no produto
>ha,
>ao menos, dois fatores ( diferencas ) pares.
>
>B) Mostre que o Produto P e divisivel por 3 considerando
>que
>alguns deles sao iguais a soma de outros ...  exemplo :
>
>c - a = (c-b) + (b-a)
>
>Se (c-b) e congruo a 2 (modulo 3) e se (b-a) e congruo a 1
>(modulo 3 ) entao (c-a) e multiplo de 3. Raciocinado assim
>voce vai chegar facilmente a demonstracao
>
>C) Dado que o Produto e necessariamente divisivel por 4 e
>por 3 entao ele e divisivel por 12
>
>2 LINHA DE RACIOCINIO
>
>Esta linha talvez seja mais a seu gosto, pois nao usa
>congruencias. Note que o produto em questao e o
>determinande
>de uma matriz de Vandermonde, tambem chamada de Matriz das
>potencias. Claramente que P e o determinante da matriz :
>
>linha 1 : 1,1,1,1
>linha 2 : a,b,c,d
>linha 3 : a^2,b^2,c^2,d^2
>linha 4 : a^3,b^3,c^3,d^3
>
>Agora, notando que (a+1)^3=a^3 + 3*a^2 + 3*a + 1, fica
>facil, usando as tradicionais propriedades dos
>determinantes, mostrar que ele e multiplo de 12.
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>2,1650,06112000
>
>Em tempo : escrevendo o e-mail me ocorreu uma terceira
>ideia, mais simples ainda que a 2 linha de raciocinio. Se
>voce indexar as primeiras diferencas, tal como (b-a)=X,
>(c-b)=Y, ...
>todas as demais podem ser expressas em funcaos destes
>parametros. O polinomio Produto resultando e claramente
>divisivel por 12 !
>
>
>                    
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