Re: Problema da olimpiada da america central e do caribe

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Quero convidar os amigos da lista para aproveitar este problema para
refletir sobre uma questao pela qual tenho me batido: o (para mim absurdo)
abandodno a que foi relegado o ensino dos vetores no ensino medio.
Repare que, se colocarmos a origem em um ponto O qualquer e identificarmos
cada ponto X com o vetor definido pelo segmento orientado OX (e de modo
geral AB=B-A), teremos, para os baricentros F,G,H,I:
F=(A+B+E)/3;  G=(B+C+E)/3; etc. Dahi:
vetor FG=G-F=(C-A)/3=vetor AC/3
vetor IH=H-I=(C-A)/3=vetor AC/3
Logo, FGHI eh um paralelogramo.

(A questao da area eh mais elaborada, mas tambem pode sair por vetores: a
area do paralelogramo eh o modulo do produto vetorial de FG e GH.)

Mas o que me parece interessante eh que o problema so eh "sinistro" porque
perdeu-se o habito de usar vetores.
JP

Para: Lista de Matemática <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 10 de Setembro de 2000 00:12
Assunto: Problema da olimpiada da america central e do caribe


>Vi um problema muito "sinistro" la:
>
>Seja ABCDE um pentagono convexo. Sejam P, Q, R e S os baricentros dos
>triangulod ABE, BCE, CDE e DAE, respectivamente.
>
>Mostrar que PQRS e um paralelogramo e que sua area e igual a 2/9 da area do
>quadrilatero ABCD.
>
>(para os que quiserem, abaixo vai o problema escrito no original)
>
>Sea ABCDE un pentagono convexo (las diagonales quedan dentro del
pentágono).
>Sean P, Q, R y S los baricentros de los triangulos ABE, BCE, CDE y DAE,
>respectivamente.
>
>Demostrar que PQRS es un paralelogramo y que su area es igual a 2/9 del
área
>del cuadrilátero ABCD.
>
>Nota: El baricentro o centroide es el punto donde concurren las medianas.
>
>
>
>