Re: curiosidade

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@impa.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: curiosidade
>Date: Tue, 08 Aug 2000 15:52:36 -0300
>
> >From: "Fabio Jose Brandimarte Ariano" <ariano@mirassol.com.br>
> >To: <obm@impa.br>
> >Subject: curiosidade
> >Date: Tue, 8 Aug 2000 15:53:27 -0300
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> >
> >   Em primeiro lugar, meus parabéns pelo trabalho e pelo site
> >www.obm.org.br.   Meu nome é José Ricardo Ariano. Sou Engenheiro Civil,
> >formado  pela Escola de Engenharia de Lins, no ano de 1.974. Naquela 
>época,
> >não dispúnhamos de calculadoras científicas do  tipo HP ou similares.
> >Utilizávamos calculadoras comuns com raiz quadrada e nos  foi passado uma
> >dica de como efetuar calculos exponenciais, utilizando as  mesmas. É um
> >cálculo empírico, que dá certo, porém nunca ficamos sabendo quais  as 
>bases
> >matemáticas para que os mesmos funcionassem. Vou passar um exemplo para
> >vocês, e se alguém puder explicar como e porque, eu ficaria  agradecido.
> >Exemplo: Calcular o valor de 8 elevado de 1/3 ( o que seria o  mesmo que
> >raiz cubica de 8 e o resultado é 2)   passo 1: Digita-se 8 e extrai-se a
> >raiz quadrada várias vezes  (por exemplo 15 vezes) e teremos o resultado
> >1,00006346.   passo 2: Subtrai-se o número 1 (temos o resultado
> >0,00006346)   passo 3: Multiplica-se este resultado pelo expoente (1/3) e
> >teremos 0,000021153   passo 4: soma-se o numero 1 (teremos 1,000021153)
> > resultado 1,999940565 o que é uma aproximação excelente para  cálculos 
>de
> >engenharia   NB: a aproximação na quarta casa é determinada pela 
>quantidade
> > de zeros após a unidade no passo 1.   Curioso, não é? Funciona para
> >qualquer base e para qualquer  expoente.   Espero ter sido útil    José
> >Ricardo H. Ariano  ariano@mirassol.com.br
>

Considerando o cálculo de a^b pelo método acima, com um detalhe: no final 
devemos elevar o resultado da soma com 1 a 2^m, onde m é a quantidade de 
raizes quadradas que haviamos extraído no começo. Considero n, em vez de 
2^m, dá no mesmo.

Seja a constante 'e' a base dos logaritmos naturais. Vale:

e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...

Queremos mostrar que

[ b(a^(1/n) - 1) + 1 ]^n = a^b    (i)

Chamarei, por comodidade, k = b(a^(1/n) - 1), o qual tende a 0 quando n se 
aproxima do infinito, (i) fica (com o n muito grande)

[ k + 1 ]^n = 1 + kn/1! + k^2n(n-1)/2! + k^3n(n-1)(n-2)/3! + ...
            = 1 + kn/1! + (kn)^2/2!    + (kn)^3/3!         + ...
            = e^(kn)
            = { e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b     (ii)

Basta mostrar que e^[ n(a^(1/n) - 1) ] = a. Para isso vemos que

n(a^(1/n) - 1) =
n(e^(lna/n) - 1) = n( 1 + lna/n + (lna/n)^2/2! + ... - 1)
                 = lna + 1/n( lna^2/2! + lna^3/n3! + ...)
                 = lna

O termo com o 1/n é desprezível, pois o n é muito grande. Com isso (ii) fica

{ e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b = { e^lna }^b
                           = { a }^b
                           = a^b

O que demonstra a fórmula. Essa prova não é rigorosa, mas nos sugere 
fortemente que o cálculo resulta em a^b. Todos os cálculos deveriam ser 
feitos com o limite de n tendendo ao infinito.

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.

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