Re: Combinatoria

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Combinatoria
>Date: Thu, 20 Jul 2000 07:55:27 -0300 (BRT)
>
>
>
>On Thu, 20 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote:
>
> > 	Essa � uma quest�o de permuta��o circular. Fiz de duas maneiras.
> >
> > Primeira maneira:
> >
> > 	Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado
> > da outra numa prateleira. Para quem j� estudou permuta��o c/repeti��o, �
> > f�cil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arruma��es poss�veis. Agora
> > "fechemos" o c�rculo, isto �, juntemos uma ponta da prateleira �
> > outra(como se a prateleira fosse male�vel). Ao fazermos isto, vemos q a
> > arruma��o q p�e todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto �,
> > BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am � equivalente �
> > BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que � equivalente a v�rias outras.
> > Precisamente 54 arruma��es equivalentes. Basta ver que o "ponto de
> > corte" da arruma��o acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espa�os
> > entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa
> > prateleira.)
> > 	Logo, o verdadeiro n�mero de arruma��es � N/54.
> >
> > Segunda maneira:
> >
> > 	Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer
> > posi��o, pois todas s�o equivalentes inicialemente. Agora, para colocar
> > a segunda bola branca, temos o lugar sim�trico ao da primeira e mais
> > 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, s� que s�o sim�tricos
> > dois a dois. Logo...). Ou seja, j� temos 27 possibilidades. J� podemos
> > perceber tamb�m que dessa maneira teremos v�rios casos e n�o chegaremos
> > ao resultado t�o cedo.
> > 	Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, n�s "abrimos" o c�rculo.
> > Isto �, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posi��o.
> > Resolvendo essa permuta��o normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale
> > lembrar que a nossa primeira bola branca N�O � diferente das outras, ou
> > seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o
> > verdadeiro n�mero de arruma��es � M/6.
> >
> > 	E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os racioc�nios chegam a
> > mesma resposta e ambos est�o, a meu ver, corretos.
> >
> > Aguardo aprecia��o de todos.
> > Um abra�o,
> > Alexandre Tessarollo
> >
> > Ecass Dodebel wrote:
> > >
> > > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um
> > > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16
> > > bolas verdes, 24 bolas amarelas?"
> > >
> > > O c�rculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para 
>serem
> > > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que voc�s 
>entendem).
> > >
> > > Obrigado!
> > >
> > > Eduardo Casagrande Stabel.
> > > 
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> >
>
>Infelizmente a resposta e ambos os racioc�nios apresentados est�o 
>incorretos,
>apesar de serem boas aproxima��es. A falha consiste no seguinte:
>existem algumas arruma��es contadas na solu��o 1 que v�m em classes
>n�o de 54 e sim de 27 arruma��es equivalentes. Um exemplo disso �
>
>BBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYYBBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYY
>
>(onde usei B para branco, A para azul, V para verde e Y para amarelo)
>pois girando 27 espa�os temos a mesma arruma��o.
>Antes de rodarmos a roda, temos exatamente
>
>27!/(3!4!8!12!)
>
>arruma��es deste tipo e portanto a resposta correta �
>
>(54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 =
>= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 =
>= 68060828021687548916368500 + 72505182750 =
>= 68060828021687621421551250
>
>[]s, N.
>
>
>

Um detalhe bem bobo, no Maple V, aqui em casa, d�
= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 =
= 11343471336947924819394750 + 72505182750 =
= 11343471336947997324577500


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