Re: Curiosidade

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Hmmm... Marcos, realmente n�o deu para entender o que voc� estava
pensando... Veja bem:

Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:
> 
> Pessoal, vc n�o falam nada? N�o criticam, n�o d�o opini�o? Digam algo, por
> favor, assim, posso saber se minha id�ia est� sendo construtiva, ou errada.
> 
> Ats,
> Marcos Eike
> 
> > Penso que podemos considerar duas circunfer�ncias de centros O1 e O2
> > respectivamente, tal que, se tangenciam num ponto p qualquer.

	Hmmm... Ok... Elas se tangenciam exteriormente ou interiormente, ou
tanto faz? As circunfer�ncias s�o *quaisquer* (desde que se tangenciem)?
Ok, fiz uma figura. O1 e O2 s�o os centros.

> >
> > Suponhamos que os centros das circunfer�ncias s�o dois dos v�rtices de um
> > tri�ngulo qualquer.
> > Na circunfer�ncia O1', fa�amos os eixos cartesianos x e y, tal que elas se
> > concorrem no centro da circunfer�ncia, de modo an�logo, temos para a
> > circunfer�ncia O2'.

	Ok, O1 e O2 ser�o dois dos v�rtices do tri�ngulo em quest�o, que pode
ser acut�ngulo ou obtus�ngulo.
	Suponho que O1' e O2' seja a nota��o para as duas dircunfer�ncias
mencionadas antes. Dois pares de eixos, um para cada centro? Estranho,
mas ok, fiz a figura, chamei de x1 e y1 os eixos que concorrem em O1 e
x2 e y2 os que concorrem em O2. Por acaso, os eixos x1 e x2 estao
alinhados?

> > Ent�o, veja que entre O1 e O2 posso coloca o outro v�rtice, repare que
> este
> > est� limitado, suponhamos n tri�ngulos na parte superior e n tri�ngulos na
> > parte inferior do eixo y.

	Colocar o outro v�rtice entre dois pontos O1 e O2? No segmento? A� n�o
d� tri�ngulo... Ou � entre as circunfer�ncias? Isto s� faz sentido se
elas se tangenciarem interiormente... mas assim mesmo, porque o terceiro
v�rtice estaria limitado entre elas?
	Eu imagino que voc� tenha alinhado x1 e x2 com o segmento O1-O2, e voc�
queira dizer que temos que colocar o terceiro v�rtice entre as *retas*
suporte dos eixos y1 e y2 *para* obter um tri�ngulo acut�ngulo. � isso?
Se for, note que isto n�o � suficiente para garantir que o tri�ngulo �
acut�ngulo: se o terceiro v�rtice estiver muito pr�ximo do segmento
O1-O2 ent�o o tri�ngulo � obtus�ngulo assim mesmo.
	De qualquer forma... n tri�ngulos, onde? Por que n? Eu estou vendo uma
infindade de tri�ngulos, dependendo de onde por o terceiro v�rtice...
Alguns acut�ngulos, outros obtus�ngulos. Voc� desenhou n tri�ngulos?
	Ainda n�o vejo o que as circunfer�ncias est�o fazendo.

> > Para x<O1 e y>O2 para qualquer x e y pertencente a um dom�nio d qualquer.
> > Perceba que podemos ter mais imagens... Pois, verifique que o dom�nio pode
> > crescer indefinidamente.

	Aqui voc� me perdeu completamente. A primeira frase n�o tem verbo... O
que acontece para x<O1 e y>O2? Se O1 era um ponto, centro de uma
circunfer�ncia, a frase "x<O1" n�o faz sentido...nem y>O2? Que dom�nio
est� crescendo? O dom�nio ao qual x e y pertencem? x e y s�o n�meros ou
pontos?

> > Eu citei apenas uma id�ia primitiva. Para provar que � o triplo, seria
> mais
> > complicado

	N�o sei se � isto que voc� est� tentando dizer... Mas dados dois pontos
A e B fixos no plano, fa�a a seguinte constru��o:
	i) Considere o c�rculo Z de di�metro AB.
	ii) Trace a reta r_a perpendicular a AB passando por A.
	iii) Trace a reta r_b perpendicular a AB passando por B.
	Ent�o ABC � acut�ngulo se e somente se C est� entre as retas paralelas
r_a e r_b *E* fora do c�rculo Z.
	Isso deixa uma impress�o que "h� mais tri�ngulos obtus�ngulos do que
acut�ngulos"... mas como o Nicolau disse, qualquer chute de
probabilidade � um perigo a menos que voc� deixe claro como tais pontos
s�o escolhidos. "Escolher um ponto aleatoriamente no plano" n�o � uma
boa resposta e n�o define uma fun��o de probabilidade... (n�o existe uma
boa densidade de probabilidade que seja uniforme no plano todo).
	Mas isto faz algum sentido: "Seja O o ponto m�dio de um segmento AB
fixo (cujo comprimento � 2d). Escolha um ponto C aleatoriamente dentro
de um c�rculo de centro O e raio R>d (digamos, k=d/R com k<1). Ent�o a
probabilidade de que ABC seja acut�ngulo �:

	p = (2arcsin(k)/Pi) + (2kraiz(1-k^2)/Pi)-k"

	Isto faz sentido se interpretarmos "escolha um ponto C aleatoriamente
dentro de um c�rculo Y" como "a probabilidade de que C esteja dentro de
uma regi�o A contida em Y � proporcional � �rea de A".

	Em particular, quando R tende a infinito com d fixo, p vai para ZERO
(note: n�o estou dizendo que isto tem qualquer coisa a ver com o
problema inicial -- meus pontos A e B s�o fixos e dados a priori; veja a
solu��o do Nicolau para a prov�vel interpreta��o correta do primeiro
enunciado). Curiosidade: o m�ximo de p parece ocorrer para
k=2/raiz(Pi^2+4)=0.53703, onde p=2arcsin(2/raiz(Pi^2+4))/Pi = 0.36091.