Re: Curiosidade

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Hmmm... Marcos, realmente não deu para entender o que você estava
pensando... Veja bem:

Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:
> 
> Pessoal, vc não falam nada? Não criticam, não dão opinião? Digam algo, por
> favor, assim, posso saber se minha idéia está sendo construtiva, ou errada.
> 
> Ats,
> Marcos Eike
> 
> > Penso que podemos considerar duas circunferências de centros O1 e O2
> > respectivamente, tal que, se tangenciam num ponto p qualquer.

	Hmmm... Ok... Elas se tangenciam exteriormente ou interiormente, ou
tanto faz? As circunferências são *quaisquer* (desde que se tangenciem)?
Ok, fiz uma figura. O1 e O2 são os centros.

> >
> > Suponhamos que os centros das circunferências são dois dos vértices de um
> > triângulo qualquer.
> > Na circunferência O1', façamos os eixos cartesianos x e y, tal que elas se
> > concorrem no centro da circunferência, de modo análogo, temos para a
> > circunferência O2'.

	Ok, O1 e O2 serão dois dos vértices do triângulo em questão, que pode
ser acutângulo ou obtusângulo.
	Suponho que O1' e O2' seja a notação para as duas dircunferências
mencionadas antes. Dois pares de eixos, um para cada centro? Estranho,
mas ok, fiz a figura, chamei de x1 e y1 os eixos que concorrem em O1 e
x2 e y2 os que concorrem em O2. Por acaso, os eixos x1 e x2 estao
alinhados?

> > Então, veja que entre O1 e O2 posso coloca o outro vértice, repare que
> este
> > está limitado, suponhamos n triângulos na parte superior e n triângulos na
> > parte inferior do eixo y.

	Colocar o outro vértice entre dois pontos O1 e O2? No segmento? Aí não
dá triângulo... Ou é entre as circunferências? Isto só faz sentido se
elas se tangenciarem interiormente... mas assim mesmo, porque o terceiro
vértice estaria limitado entre elas?
	Eu imagino que você tenha alinhado x1 e x2 com o segmento O1-O2, e você
queira dizer que temos que colocar o terceiro vértice entre as *retas*
suporte dos eixos y1 e y2 *para* obter um triângulo acutângulo. É isso?
Se for, note que isto não é suficiente para garantir que o triângulo é
acutângulo: se o terceiro vértice estiver muito próximo do segmento
O1-O2 então o triângulo é obtusângulo assim mesmo.
	De qualquer forma... n triângulos, onde? Por que n? Eu estou vendo uma
infindade de triângulos, dependendo de onde por o terceiro vértice...
Alguns acutângulos, outros obtusângulos. Você desenhou n triângulos?
	Ainda não vejo o que as circunferências estão fazendo.

> > Para x<O1 e y>O2 para qualquer x e y pertencente a um domínio d qualquer.
> > Perceba que podemos ter mais imagens... Pois, verifique que o domínio pode
> > crescer indefinidamente.

	Aqui você me perdeu completamente. A primeira frase não tem verbo... O
que acontece para x<O1 e y>O2? Se O1 era um ponto, centro de uma
circunferência, a frase "x<O1" não faz sentido...nem y>O2? Que domínio
está crescendo? O domínio ao qual x e y pertencem? x e y são números ou
pontos?

> > Eu citei apenas uma idéia primitiva. Para provar que é o triplo, seria
> mais
> > complicado

	Não sei se é isto que você está tentando dizer... Mas dados dois pontos
A e B fixos no plano, faça a seguinte construção:
	i) Considere o círculo Z de diâmetro AB.
	ii) Trace a reta r_a perpendicular a AB passando por A.
	iii) Trace a reta r_b perpendicular a AB passando por B.
	Então ABC é acutângulo se e somente se C está entre as retas paralelas
r_a e r_b *E* fora do círculo Z.
	Isso deixa uma impressão que "há mais triângulos obtusângulos do que
acutângulos"... mas como o Nicolau disse, qualquer chute de
probabilidade é um perigo a menos que você deixe claro como tais pontos
são escolhidos. "Escolher um ponto aleatoriamente no plano" não é uma
boa resposta e não define uma função de probabilidade... (não existe uma
boa densidade de probabilidade que seja uniforme no plano todo).
	Mas isto faz algum sentido: "Seja O o ponto médio de um segmento AB
fixo (cujo comprimento é 2d). Escolha um ponto C aleatoriamente dentro
de um círculo de centro O e raio R>d (digamos, k=d/R com k<1). Então a
probabilidade de que ABC seja acutângulo é:

	p = (2arcsin(k)/Pi) + (2kraiz(1-k^2)/Pi)-k"

	Isto faz sentido se interpretarmos "escolha um ponto C aleatoriamente
dentro de um círculo Y" como "a probabilidade de que C esteja dentro de
uma região A contida em Y é proporcional à área de A".

	Em particular, quando R tende a infinito com d fixo, p vai para ZERO
(note: não estou dizendo que isto tem qualquer coisa a ver com o
problema inicial -- meus pontos A e B são fixos e dados a priori; veja a
solução do Nicolau para a provável interpretação correta do primeiro
enunciado). Curiosidade: o máximo de p parece ocorrer para
k=2/raiz(Pi^2+4)=0.53703, onde p=2arcsin(2/raiz(Pi^2+4))/Pi = 0.36091.