Problema de inteiros

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

E ai, pessoal?

Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na �ltima Eureka! e 
acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas � muito 
trabalhosa a minha prova, e n�o sei se est� bem certa. L� vai.

1) Sejam x e y dois n�meros primos entre si. Provar que podemos obter 
qualquer n�mero somando m�ltiplos de x e de y.

Solu��o.
Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que

fx + gy = n  ( a soma de m�ltiplos de x e de y d�o o n )

Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:

f = (n - gy)/x

Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um 
pouquinho de Teoria dos N�meros, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. 
ent�o o n - gy ser� um s.c.r. m�dulo x, e estaria provado. Mas vamos por 
partes:

Suponhamos que

n - g1y =/= n - g2y (mod x)    '=/= incongruente
g1y =/= g2y (mod x)  ==> afirma��o similar a x n�o divide y(g1-g2)

Como  mdc(x,y)=1 ent�o

g1 =/= g2 (mod x)

Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) ent�o n - g1y =/= n - g2y (mod x).
Agora escolhemos x n�meros incongruentes m�dulo x (g1,...,gx), ou seja, que 
nunca deixem o mesmo resto na divis�o por x. E necessariamente:

n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j

Ou seja, nesses x n�meros (n-g1y,...,n-gxy), todos s�o incongruentes m�dulo 
x, e como existem apenas x restos poss�veis na divis�o por x, 
necessariamente algum deles deixar� resto zero na divis�o por x, e portanto 
haver� um g, tal que:

f = (n - gy)/x ser� inteiro, e est� provado o enunciado.

2) Sejam x e y dois n�meros primos entre si. Prove que existe um N, de modo 
que para todo o n > N, podemos escolher m�ltiplos positivos de x e de y que 
somados d�o n. Nessas condi��es teremos que ter

Solu��o.
O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, 
para n > N

fx + gy = n  (lembrando que � todo mundo inteiro nesse e-mail)

A minha id�ia � a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a 
vale axy - ayx = 0, da�:

fx + gy + axy - ayx = n
(f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos

Quero mostrar que existir� um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g 
- ax sejam ambos positivos.

Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx 
esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax 
sempre positivos.

Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta que 
n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.


Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
Valeu...
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