Re: 99

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	O problema proposto � equivalente a encontrar um n�mero da forma
100A+99 divis�vel por 99 e tal que a soma dos digitos de A � 99-18 =
81. No entanto, a soma dos d�gitos ser 81 implica que A � divis�vel
por 9; assim, basta resolver:

	Qual � o menor n�mero A cuja soma dos d�gitos � 81 e que � divis�vel
por 11?

	Seja P a soma dos d�gitos de A de ordem par e I a soma dos d�gitos de
P de ordem �mpar. Para que A seja divis�vel por 11, precisamos que:

	11 | P-I => P-I = 0 ou +-11 ou +-22 ou ...

	Mas P+I=81, ent�o P e I t�m paridades diferentes. Assim:

	P+I=81
	P-I=+-11, +-33, ...., 22k+11 (k inteiro)

	Isto �:

	P = 11k+46; I = -11k+35

	As �nicas possibilidades s�o k=-3,-2,-1,0,1,2,3. Aqui est�o os
valores de P e I correspondentes:

	 P = 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
	 I = 68, 57, 46, 35, 24, 13,  2

	Note: qualquer n�mero A que tenha P e I dados por uma das 7 op��es
acima ser� divis�vel por 99 e ter� soma de algarismos = 81. Qual � o
menor deles?

	A soma dos algarismos � 81, ent�o A tem pelo menos 9 algarismos. Mas
neste caso A = 999.999.999 n�o serve (I-P=9 aqui).

	Se A tiver 10 algarismos, h� 5 de ordem par e 5 de ordem �mpar, e
portanto P,I <= 45. N�o h� solu��es com ambas as condi��es, ent�o nada
feito.

	Tentemos 11 algarismos, 6 de ordem �mpar e 5 de ordem par. Tem-se I
<= 54 e P <= 45; o �nico jeito � P=35 e I=46. Para distribu�-los
formando um n�mero pequeno, fazemos:

	I = 46 = 1 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
	P = 35 = 0 + 8 + 9 + 9 + 9

	e o menor n�mero A � 10.989.999.999

	Finalmente, o n�mero pedido na questao original � ent�o:

	1.098.999.999.999


> Bruno Guimar�es wrote:
> 
>  Eu sou novo na lista e gostaria que voces me mostrassem como
> resolver o meu problema, se existe alguma formula para resolve-lo,
> senao de que jeito eu posso resolve-lo, o problema � o seguinte.
> 
>  Qual o menor numero inteiro e positivo que � multiplo de 99, seus
> dois ultimos algarismos sao 99 e a soma de todos os seus algarismos
> da 99.
> 
>  Obrigado
> Bruno