Re: Tres exercicios

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Caros Colegas da Lista,
Saudacoes !

No desenvolvimento do Binomio (1 + 1/3)^65, o Termo Geral -
que doravante designaremos por T(k+1) - e expresso por :

T(k+1) = (65! / (k! * (65 - k)!)  )*( (1/3)^k )

Este Termo Geral pode ser escrito de outra forma, a saber:

T(k+1) = (65! /  (65 - k)!)  )*((1/ k!)* (1/3)^k )

Simplificando 65! com (65 - k)!  surgirao "k" fatores, desde
65 ate "65 - k + 1". Estes fatores constituirao o
"NUMERADOR". Se, por outro lado, associarmos a cada fator de
k!  (1*2*...*k) um "3"  de (1/3)^k, teremos o "k" fatores, a
saber:

(1*3)*(2*3)*(3*3)*(4*3)* ... (k*3)

Estas duas observacoes nos permitem concluir que cada novo
termo e o produto do anterior pela fracao (65 - k +1) /
(3*k). Assim, os termos so crescerao se esta fracao for
maior que 1 ( um ) ! Portanto, o menor "k" tal que :

65 - k + 1 < 3k

E o valor que procuramos ... A resolucao da inequacao
fornece k > 16,5. Logo, deve ser k = 17. O maior termo e,
portanto, o decimo-oitavo termo.

Esta maneira de ver as coisas pode ser empregada para
resolver QUALQUER QUESTAO SIMILAR, inclusive aquelas em que
precisamos empregar a formula de expansao multinomial de
Leibniz. Uma questao de alguma forma correlata pode ser:

***
seja T(k) = ( (k^N) / (1+ 1/N)^k ).  K variando em {1,2,3,
... }  e N um natural fixo dado, nao nulo.  Para que valor
de "k", T(k) atinge o seu valor maximo ?

***

Ola Via Luz. Agradeco sua lembranca. O certo e que por
problemas de saude em minha familia precisei viajar para
Bahia com brevidade... Por isso n�o estou participando da
Lista, dado que aqui n�o tenho um computador disponivel. So
respondi a este e-mail por uma contigencia que acredito
dificilmente vai se repetir. Espero em breve estar no Rio e
voltar as minhas atividades normais ...

Um Grande Abraco a Todos
Saudades dos Amigos !


Paulo Santa Rita
6,2215,31032000





On Fri, 31 Mar 2000 14:11 +0000
alexv@esquadro.com.br wrote:
>>Le-se abaixo:
>>
>>Para que o termo seja m�ximo deve-se ter:
>> T(k+1)>=T(k)  e  b) T(k+1) >= T(k+2)
>>
>>Pergunta de um incredulo:
>>Por que isto garante que o termo de ordem de ordem k+3,
>por exemplo,
>>nao eh maior que o termo de ordem k+1?
>>Ser maior que os vizinhos garante que eh maior que todos?
>>
>>
>>
>JP,
>
>Antes de mais nada, a condi��o que impus foi que num
>desenvolvimento de um 
>bin�mio para um termo T(p+1) ser m�ximo, ele dever� ser
>maior ou IGUAL ao 
>termo anterior ( T(p) ) e tamb�m maior ou IGUAL ao termo
>posterior 
>( T(p+2) ). Essa � a condi��o que aprendi para que um
>termo de bin�mio 
>seja m�ximo.  Eu n�o disse que ele era simplesmente MAIOR
>que os vizinhos. 
>
>Quando fiz a quest�o me utilizei disso sem achar que fosse
>necess�ria um 
>prova formal (que na verdade eu n�o sei dar), uma vez que
>� o 
>comportamento do desenvolvimento de um bin�mio (h� um
>crescimento dos 
>valores dos termos at� chegar ao(s) termo(s) m�ximo(s) e
>em seguida h� um 
>decrescimo dos valores).  Entretanto, analisando (1+1/3)^n
>(n=4,5,6,7,8) 
>verifiquei que o comportamento se mant�m, ou seja a
>condi��o que impus 
>continua v�lida, como ali�s, acredito que vale em todo
>bin�mio n�o �?
>
>Algu�m sabe de uma explica��o melhor ?
>
>[]'s
>Alexandre Vellasquez

________________________________________________
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/