Problema sobre pintura

[benedito <bene@xxxxxxxxxxx>]

Há cerca de uns sete  dias atrás, enviei para a lista um problema.  Achei
interessante colocar na lista da OBM para iniciar uma discussão a respeito
desse problemas sobre pintura, que tem aparecido em algumas Olimpíadas de
Matemática. O problema que me refiro apareceu  na revista Mathematics
Magazine, Vol. 69, No. 01, Feb. 1996, p.69:

Problema: Imagine que você possa pintar cada ponto do plano com uma das
duas cores: vermelho ou azul. Considere dado o triângulo T  de vértices  ABC. 
Não importa qual a pintura feita, existe um triângulo semelhante ao
triângulo T (dado) com todos os vértices de mesma cor.

Benedito Freire

Remeto a seguir a solução enviada por um dos  membros  dessa lista:


	Caro Benedito,

	Nao sei se voce propos este problema para alguem mandar a solucao para
todos ou simplesmente como mais um problema legal. De qualquer forma, mando
a minha solucao abaixo que voce pode mandar para a lista depois, se for o
caso.

	Suponhamos que o resultado seja falso.
	Comece desenhando um triangulo ABC congruente ao triangulo T
(dado). Sem perda, suponha que cor(A)=cor(B)=azul e cor(C)=verm. Agora
sejam D, E e F os pontos medios dos lados AB, BC e CA, respectivamente.
Por inspecao e facil ver que cor(D)=verm (aqui voce esta usando que os
triangulos ADF, DBE, EFD e FEC sao semelhantes ao triangulo ABC). Agora
seja P tal que P pertence a reta CD e D e o ponto medio do segmento PC. O
triangulo BAP e congruente ao triangulo ABC, de onde cor(P)=verm. Assim,
cor(C)=cor(D)=cor(P)=verm. e D e medio de PC. Agora seja Q um ponto do
plano tal que o triangulo CPQ seja semelhante ao triangulo ABC. Temos que
cor(Q)=azul. Agora, sejam M e N os pontos medios de CQ e PQ,
respectivamente. De novo por inspecao, vemos que cor(M)=cor(N)=azul.
Assim, o triangulo MNQ e semelhante ao triangulo ABC (e logo semelhante a 
T) e seus verices tem todos a mesma cor, o que e absurdo. Logo o resultado
e verdadeiro.

	Abracos, -- Pavlos.