Re: Mais Problemas

["The Buddha's Sun" <obuddha@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: David Pereira <david.pereira@samnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 10 de Janeiro de 2000 20:53
Assunto: Mais Problemas


>1) Encontre todos os inteiros positivos que s�o menores que 1000 e cumprem
a
>seguinte condi��o: o cubo da soma dos seus d�gitos � igual ao quadrado do
>referido inteiro.


Hehe, este problema da �ltima Ibero � bonita�o. Este problema tem hist�ria
ga�cha. O Duda e eu resolvemos ele no quadro de uma das salas da UFRGS, cada
um dando uma id�ia, antes da aula come�ar. Chegamos a uma conclus�o: ele �
f�cil de mais para estar em tal olimp�ada. N�o me lembro da solu��o, mas vou
ir escrevendo e achando:

Tipo, podemos ter umas das duas hip�teses:

(a + b + c)^3 = (100a + 10b + c)^2  ou
(a + b)^3 = (10a + b)^2.

Denotemos o n�mero que satisfaz a
propriedade do enunciado de N.

Escolhendo qualquer uma das hip�teses, temos um cubo igual a um quadrado.
Extraindo a raiz c�bica dos dois lados da igualdade, temos que a raiz c�bica
de (100a + 10b + c)^2 ou de (10a + b)^2 � inteira, ou seja, N � um cubo.

A�, � s� testar os cubos menores que 1000 = 10^3. O �nico que satisfaz o
enunciado � 3^3 = 27, pois 9^3 = 27^2 (3^6 = 3^6)

Feito o carreto.

Lucas