Re: Equação Exponencial

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, David.

david.pereira@samnet.com.br wrote:
> 
> A equacao 3^x+1 + 3^4-x - 36 = 0 tem como raizes os números a e b, sendo a < b.
> 
...
> 3^x+1 + 3^4-x - 36 = 0
...
> 3^x+1 + 3^4-x = 3^3 + 3^2
> 
> Então podemos fazer:
> 1) x+1 = 3; 4-x = 2  => x = 2
> 2) 4-x = 3; x+1 = 2  => x = 1

	Este segundo método é mais ou menos válido. Os problemas com este
método são:

i) Este método não mostra de maneira convincente que estas são as únicas
soluções. Se foi DADO que só há duas soluções (o que parece ser o caso),
ok, senão, como saber se não há outras?

ii) Você deu sorte, MUITA sorte; você achou duas equações em x e "por
sorte" ambas tem a mesma solução. Compare com:

3^(x+1)+3^(3-x)-36=0
3^(x+1)+3^(3-x)=3^3+3^2

x+1=3 e 4-x=1 => x=2 e x=3 (oops!)
x+1=1 e 4-x=3 => x=0 e x=1 (oops de novo!)

enquanto o método antigo ainda funciona (feio, mas funciona). Tome
y=3^x:

3y+27/y-36=0 => y^2-12y+9=0 => ...

	Estas objeções à parte, há algo a ser dito sim: dada um número qualquer
e uma base (número natural maior que 1), há no máximo uma maneira de
decompor este número como soma de DUAS potências inteiras desta base. Em
outras palavras, se a,b,c,d são inteiros e n é natural, n>1, e

	N=n^a+n^b=n^c+n^d

então (a=c e b=d) ou (a=d e b=c). A prova é simples: sem perda de
generalidade, suponha que a é o menor dos números a,b,c,d. Divida tudo
por n^a:

	1+n^(b-a)=n^(c-a)+n^(d-a)

	Como b-a, c-a, d-a > 0, as 4 parcelas são naturais. Se a < b,c,d então
módulo n temos 1=0 (absurdo). Devemos ter alguma das igualdades a=b, a=c
ou a=d.
	Se a=b então c=d=a é claramente a única solução. Se c=a então
claramente b=d; d=a implica b=c.
	Portanto para encontrar as soluções INTEIRAS de uma equação do tipo

	n^(f(x))+n^(g(x))=N
	(onde f(x) e g(x) são funções que levam inteiros em inteiros)

	o seu método funcionará se você conseguir decompor o número à direita
como soma de duas potências inteiras, N=n^a+n^b. Respaldado pelo teorema
acima, você pode escrever

	(f(x)=a e g(x)=b)
	ou
	(f(x)=b e g(x)=a)

	e estas são as únicas possíveis soluções INTEIRAS.

	A decomposição única em somas de potências inteiras de n é válida para
somas de até n termos (e a demonstração é praticamente a mesma); para
(n+1) termos, note que

	n^a+n^a+...+n^a+n^(b+1)=n^(a+1)+n^b+n^b+...+n^b

	Portanto, por exemplo,
	3^x+3^(2x-1)+3^(3x-2)+3^(4x-3) = 12 = 3^0 + 3^0 + 3^0 + 3^2
	não implica que
	{x,2x-1,3x-2,4x-3}={0,0,0,2} (o que seria impossível).

	Tome y=3^x e então
	y^4+3y^3+9y^2+27y-324=0
	(y-3)(y^3+6y^2+27y+108)=0
	y=3 ou y<0 => x=1 é a única solução.

	Abraço,
		Ralph