Re: Problema horroroso

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 26 Sep 1999, Bruno Leite wrote:

> Seja f(n) o número de triângulos equiláteros (0<i<=n)que estão contidos num 
> triângulo equilátero de lado n (num triangulado, digamos)
> 
> Ex: f(1)=1 pois num triângulo eq. de lado 1 há apenas um triângulo.
>     f(2)=5 pois num tr.eq. de lado 2 há um triangulo de ponta cabeça, três 
> tr. de lado 1 "certos" e um grandão.
>     f(3)=13 pois temos 9 pequenos, 3 médios e um grande.
>     f(4)=27 etc
>     /\
>    /\/\
>   /\/\/\
> /\/\/\/\
> 
> 
> A figura ilustra o caso n=4 (é preciso fingir que há também as divisões 
> horizontais, formando uma malha triangular.)
> 
> É fácil ver que há:
> 16 triângulos do tipo /\ ou \/ (lado 1)
> 7 triângulos de lado 2 (6 /\ e 1 \  /)
>                          /  \     \/
> 3 triângulos lado 3 e
> 1 de lado 4.
> 
> 
> Pede-se f(n) em função de n (fórmula explícita)
> Eu comecei a estudar esse problema há 2 anos mas sempre desisti por falta de 
> resultados. Já achei várias relações mas não acho a fórmula geral. Gostaria 
> MUITO que alguém falasse como se faz.
> 
> Se alguém que se interessou não entender o enunciado muito bem, eu faço umas 
> figuras explicativas para ajudar.

A resposta é da forma

f(n) = pe(n) se n é par, po(n) se n é ímpar,

onde pe e po são polinômios de grau 3.

Mais precisamente, o no de triangulos na posição A (vértice para cima) é
1 + 3 + 6 + 10 + ...
onde a soma tem n termos.
Os termos desta soma são uma coluna do triângulo de Pascal.
A primeira parcela (1) equivale ao triângulo maior de todos;
a segunda (3) aos triângulos de lado n-1,... e a última
aos triângulos de lado 1.

Assim, o número de triângulos na posição A é
1, 4, 10, 20, 35, ...  = n(n+1)(n+2)(n+3)/6 (polinômio de grau 3).

O no de triângulos na posição V é
1 + 6 + 15 + 28 + 45 + ... com n/2 termos se n é par;
3 + 10 + 21 + 36 + 55 + ... com (n-1)/2 termos se n é ímpar.
Os termos são elementos alternados da mesma coluna
do triângulo de Pascal e novamente a decomposição é feita
de acordo com o tamanho do triângulo.
A fórmula nos dois casos é

1, 7, 22, 50, 95 = n(n+2)(2n-1)/24
3, 13, 34, 70, 125 = (n-1)(n+1)(2n+3)/24

Juntando as duas parcelas você pode obter a fórmula desejada.
> Bruno Leite

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau