Ajuda em problema

["Eric Campos" <mathfire@xxxxxxxxxx>]

Ola companheiros do grupo

Tem um problema interessante (problema 30, revista Eureka! n.6) que fiquei 5
dias tentando resolver, mas nao consegui dar uma solucao satisfatoria. O
problema eh o seguinte:

Determine todas as funcoes f:R->R que satisfazem as condicoes:

(i) f(-x)=-f(x)
(ii) f(x+1)=f(x)+1
(iii) f(1/x)=f(x)/(x^2) para x<>0

Por (i) f(0)=0, por (ii) f(1)=1, alem disso, se n eh inteiro, f(n)=n.
Acho que consegui mostrar por inducao e usando fracoes continuas que a
imagem de qualquer numero racional q eh q, i.e. f(q)=q sempre que q for um
numero racional. Tambem percebi o seguinte:

se para um certo x irracional existem m,n inteiros tais que (x+m)(x+n)=1
entao f(x)=x. De fato:
Suponha que (x+m)(x+n)=1 com m,n inteiros.
Nesse caso 1/(x+m)=x+n   [1]
Usando (iii) e que f(x+m)=f(x)+m sempre m eh inteiro temos:
f(1/(x+m))=f(x+m)/(x+m)^2=(f(x)+m)/(x+m)^2
isto eh f(1/(x+m))=(f(x)+m)/(x+m)^2  [2]
Por outro lado, usando [1] temos f(1/(x+m))=f(x+n)  [3]
Comparando [2] e [3] e lembrando que f(x+n)=f(x)+n temos
(f(x)+m)/(x+m)^2=f(x)+n  [4]
Multiplicando esta ultima igualdade membro a membro por (x+m)=1/(x+n) [1']
obtemos:
(f(x)+m)/(x+m)=(f(x)+n)/(x+n)  [5]
Desenvolvendo [5] chegamos a f(x)=x

Aih estah o problema. Existirao outros valores de x para os quais temos
necessariamente f(x)=x? Podemos chegar num absurdo se supusermos que
f(x)<>x?

Seja Q o conjunto dos racionais e Q2 o conjunto dos numeros reais x para os
quais existem inteiros m,n tais que (x+m)(x+n)=1. Se os unicos numeros reais
para os quais temos necessariamente f(x)=x sao os elementos de Q e Q2 entao
acho que tenho uma solucao para o problema 30. Mas nao estou conseguindo nem
mostrar que os elementos de Q e Q2 sao os unicos para os quais
necessariamente f(x)=x, nem mostrar que para todo real x vale f(x)=x. Isso
deixa uma grande lacuna em minha pretensa solucao.

Alguem sabe mais a respeito desse problema, ou tem alguma dica de como
resolve-lo?

Um abraco.

Eric.

mathfire@uol.com.br